Kleinsche Flasche

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Kleinsche Flasche, Klein Der Begriff Kleinsche Flasche steht für ein geometrisches Objekt, das Mathematiker liebevoll als nicht-orientierbare zweidimensionale differenzierbare MannigfaltigkeitSH_KU_kleinsche_flasche_kl bezeichnen. Zu Deutsch bedeutet dies, dass im Fall einer Kleinschen Flasche das Innere zugleich das Äußere ist oder anders gesagt: Man kann vom vermeintlich Inneren auf die Außenseite wechseln, ohne dabei über eine Kante zu gehen wie etwa bei einem Trinkbecher.

Deshalb ist es nicht möglich, Inneres und Äußeres zu unterscheiden. Dieses Phänomen ist nicht nur für Topologen interessant, sondern an sich sehr faszinierend. Mathematisch betrachtete hat die Kleinsche Flasche damit auch kein Volumen.

Kleinsche Flasche als Mütze und Möbiusband als Schal

Kleinsche Flasche als Mütze mit Möbiusband als Schal

Die hier gezeigte Kleinsche Flasche, die es auch im Shop zu kaufen gibt werden in einem aufwendigen Prozess handgefertigt.

Benannt ist die Kleinsche Flasche nach dem deutschen Mathematiker Felix Klein, der diese topologische Form 1882 als Erster untersuchte. Eine vergleichbare  Form ist das Möbiusband, das man erhält, wenn man einen Papierstreifen einmal verdreht und dann zusammenklebt. Auch hier ist es dann möglich, von innen nach außen zu wechseln, ohne dabei über eine Kante zu gehen. Das Möbiusband ist nach dem Astronom und Mathematiker August Ferdinand Möbius (1790 – 1868) benannt, der es im Jahr 1858  beschrieb.

Klebt man zwei Möbiusbänder zusammen, erhält man eine Kleinsche Flasche. Man kann eine Kleinsche Flasche jedoch auch aus einem einfachen Quadrat erzeugen. Man klappt dieses Zusammen, so dass ein Röhre entsteht, öffnet die Enden ein wenig und lässt die Röhre sich selbst durchdringen. Wie das genau aussieht, wird sehr schön in dem Video unten gezeigt.

Kleinsche Flasche als Weinkaraffe

Kleinsche Flasche als Weinkaraffe

Der Kommentar unseres Korrektors zum Begriff „zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit“: „Wer hätte gedacht, dass Mathematiker zu so poetischen Wendungen fähig sind.“

Die Topologie beschäftigt sich mit Formen, die sich nicht ändern, selbst wenn sie beispielsweise gedehnt oder verdreht werden. Zerstört werden dürfen sie bei diesem Prozess jedoch nicht und die Formänderung muss stetig vor sich gehen.

Im folgenden ein Video zur Entstehung einer Kleinschen Flasche und außerdem ist weiter unten eine Kleinsche Flasche als Bierhumpen zu sehen.

 

Kleinsche Flasche als Becher: Grafik

Grafik zur Kleinschen Flasche als Bierhumpen

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Kleinsche Flasche als Bierhumpen